一．反向传播算法

反向传播算法[1]（Backpropagation Algorithm，简称BP算法）是深度学习的重要思想基础，对于初学者来说也是必须要掌握的基础知识，在这一小节里，我们会较为详细的介绍这一重点知识。

 

我们使用一个如图1所示的神经网络，该图所示是一个三层神经网络，两层隐藏层和一层输出层，输入层有两个神经元，接收输入样本(x1,x2)，为网络的输出。

图1 一个三层神经网络

二．前馈计算的过程

为了理解神经网络的运算过程，我们需要先搞清楚前馈计算，即数据沿着神经网络前向传播的计算过程，以图1所示的网络为例：

输入的样本为：

公式1

第一层网络的参数为：

公式2

第二层网络的参数为：

 公式3

第三层网络的参数为：

公式4

第一层隐藏层的计算

图2 计算第一层隐藏层

第一层隐藏层有三个神经元：neu1、neu2和neu3。该层的输入为：

公式5

以neu1神经元为例，则其输入为：

公式6

同理有：

公式7

公式8

假设我们选择函数f(x)作为该层的激活函数（图1中的激活函数都标了一个下标，一般情况下，同一层的激活函数都是一样的，不同层可以选择不同的激活函数），那么该层的输出为：

第二层隐藏层的计算

图3 计算第二层隐藏层

第二层隐藏层有两个神经元：neu4和neu5。该层的输入为：

公式9

即第二层的输入是第一层的输出乘以第二层的权重，再加上第二层的偏置。因此得到neu4和neu5的输入分别为：

公式10

公式11

该层的输出分别为：

输出层的计算

图4 计算输出层

输出层只有一个神经元：neu6。该层的输入为：

公式12

即：

公式13

因为该网络要解决的是一个二分类问题，所以输出层的激活函数也可以使用一个Sigmoid型函数，神经网络最后的输出为：

 

三．反向传播的计算

上一小节里我们已经了解了数据沿着神经网络前向传播的过程，这一节我们来介绍更重要的反向传播的计算过程。假设我们使用随机梯度下降的方式来学习神经网络的参数，损失函数定义为

其中y是该样本的真实类标。使用梯度下降进行参数的学习，我们必须计算出损失函数关于神经网络中各层参数（权重w和偏置b）的偏导数。

 

假设我们要对第k层隐藏层的

假设代表第k层神经元的输入，即

其中n^(k-1)为前一层神经元的输出，则根据链式法则有：

公式14

公式15

因此，我们只需要计算偏导数

计算偏导数

前面说过，第k层神经元的输入为：，因此可以得到：

公式16

 

我们以1.1节中的简单神经网络为例，假设我们要计算第一层隐藏层的神经元关于权重矩阵的导数，则有：

公式17

计算偏导数

因为偏置b是一个常数项，因此偏导数的计算也很简单：

公式18

依然以第一层隐藏层的神经元为例，则有：

公式19

计算偏导数

根据第一节的前向计算，我们知道第k+1层的输入与第k层的输出之间的关系为：

公式20

公式21

公式22

公式23

下面是基于随机梯度下降更新参数的反向传播算法：

输入：

以上是BP算法的介绍，下次文章中有一个BP算法计算的完整示例，希望加深理解的读者可以跟着示例计算一遍。

四．参考文献

[1]. Learing representations by back-propagatingerros.David E.Rumelhart,Geoffrey E.Hinton,Ronald J.Williams